Tuesday, 20 June 2017

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)



Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Karya: Siti Putri Indriani

Pada tulisan sebelumnya penulis sudah membahas mengenai faktor dan kelipatan, pembahasan kali ini kita akan memahami lebih jauh mengenai FPB dan KPK yang mulai dipelajari pada tingkat Sekolah Dasar. Jika belum memahami mengenai faktor dan kelipatan maka pahami terlebih dahulu.
1. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Faktor persekutuan dari beberapa bilangan adalah faktor yang sama dari bilangan tersebut. Maka faktor persekutuan terbesar adalah faktor yang memiliki nilai terbesar dari beberapa faktor yang sama. Untuk mencari faktor persekutuan terbesar dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
a. Pohon faktor
Pohon faktor adalah pohon yang memiliki kecambah terletak di paling atas pohon sehingga pohon faktor tumbuh ke bawah dibantu dengan menggunakan perkalian bilangan prima (2,3,5,7,11,13,17, .... n).
Contoh   :
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan  Terkecil (KPK)
Perhatikan gambar di atas!
Cara menyelesaikan pohon faktor sehingga menghasilkan faktor dari bilangan yang dicari adalah dengan membagi bilangan dengan bilangan prima terkecil yang hasilnya akan habis. Tulislah bilangan prima yang terpilih disebelah kiri dan hasil pembagiannya disebelah kanan (perhatikan gambar di atas). Misalnya jika bilangan yang akan dicari faktornya adalah 140. 140 adalah bilangan genap maka dapat dibagi bilangan prima 2, dan seterusnya seperti itu. Misalnya bilangan yang dihasilkan dari pembagian adalah 35, maka bilangan prima terkecil yang dapat menjadi pembaginya adalah 5, karena jika menggunakan 3 tidak akan habis dibagi. Lanjutkan hingga bilangan habis untuk dibagi lagi.
Bagaimana mudah bukan?
Selanjutnya bagaimana jika kita akan mencari FPB dari bilangan 140 dan 60?
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan  Terkecil (KPK)
Faktor dari 140 adalah 22 x 5 x 7
Faktor dari 60 adalah 22 x 3 x 5
Sehingga Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) adalah 22 x 5 = 4 x 5 = 20.

Pembuktian :
Kita akan membuktikan dengan cara mencari satu persatu faktor dari 140 dan 60.

140
1
10
2
14
4
20
5
35
7
140
60
1
6
2
10
3
12
4
15
5
20
30
60








Faktor dari 140 adalah 1,2,4,5,7,10,14,20,35,140.
Faktor dari 60 adalah 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60.
Sehingga Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari bilangan 140 dan 60 adalah 20.

b. Sengkedan
Menentukan FPB dengan cara sengkedan, sebagai berikut:
Bilangan yang akan dicari masih sama seperti bilangan di atas adalah 140 dan 60. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah:
1) Membagi bilangan yang dicari tanpa sisa dengan bilangan prima dari yang terkecil.
2) Tulis kembali hasil sebelumnya apabila bilangan tersebut tidak habis dibagi bilangan prima seperti tabel di bawah yang ditandai dengan angka warna merah.
3) Lakukan terus hingga baris terakhir berisi bilangan 1.
4) Buat seperti tabel di bawah ini.
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan  Terkecil (KPK)
5) Perhatikan tabel yang sudah dibuat.
6) Lingkari bilangan prima yang dapat membagi semua bilangan.
7) FPBnya yaitu hasil kali dari bilangan prima yang dilingkari.
Jadi, FPB dari bilangan 140 dan 60 adalah 2 x 2 x 5 = 20.
Cara sengkedan ini dapat dilakukan pula untuk mencari FPB lebih dari 2 bilangan.

2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)
Kelipatan persekutuan adalah kelipatan yang sama dari bilangan-bilangan tersebut. Maka kelipatan persekutuan terkecil adalah kelipatan yang memiliki nilai terkecil dari kelipatan-kelipatan tersebut. Untuk mencari kelipatan persekuuan terkecil dapat dilakukan dengan beberapa cara, antara lain:
a. Kelipatan Persekutuan
Misalnya carilah KPK dari bilangan 8 dan 12!
Cara menyelesaikannya yaitu
1) Carilah kelipatan dari masing-masing bilangan.
    Kelipatan 8 adalah = 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, ...
    Kelipatan 12 adalah = 12, 24, 36,48, 60, ...
2) Perhatikan hasil kelipatan yang sama antara bilangan tersebut.
    Kelipatan persekutuannya adalah bilangan 24 dan 48.
3) Cari bilangan terkecil dari kelipatan persekutuannya atau disebut dengan KPK.
    KPK dari bilangan 8 dan 12 adalah bilangan 24.
b. Faktorisasi Prima
Cara faktorisasi prima menggunakan pohon faktor seperti halnya mencari FPB.
Misalnya KPK dari bilangan 8 dan 12 adalah.
Langkah-langkah penyelesaiannya yaitu:
1) Membuat pohon faktor
Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dan Kelipatan Persekutuan  Terkecil (KPK)
Faktor dari 8 adalah 2 x 2 x 2 = 23
Faktor dari 12 adalah 2 x 2 x 3 = 22 x 3
2) Selanjutnya mencari bilangan prima terbesar dari semua faktor yang digunakan.
Faktor 2 terbesar adalah 23
Faktor 3 terbesar adalah 3
 3) KPK dari dua bilangan tersebut adalah hasil kali dari masing-masing faktor   terbesar.
Jadi, KPK dari bilangan 8 dan 12 adalah = 23 x 3 = 8 x 3 = 24.




EmoticonEmoticon